Введение в комплексный анализ

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья находится в разработке!
На главную <<

Комплексный анализ отличается от математического анализа тем, что мы работаем теперь не только с вещественными числами, но и с комплексными.


Определение:
Комплексное число это пара [math] \langle a, b \rangle [/math] заданных на множестве, где определены операторы сложения и умножения:

1) [math] z_1 + z_2 = (a_1 + a_2, b_1 + b_2)[/math];

2) [math] z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1)[/math].


Если комплексное число [math] z [/math] можно представить в виде [math] a + bi [/math], то мы можем отождествить записи [math] (a,0)\equiv a [/math], [math] (0,b)\equiv bi [/math], [math] i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 - 1, 0) = -1 [/math]. Именно отсюда получается. что [math] i^2 = -1 [/math]. Соответственно пара [math] \langle a, b \rangle [/math] это некий абстрактный объект, с которым нам и предстоит работать в этом курсе.

Для выделения вещественной и комплексной частей будем пользоваться записями [math] \Re(z) = a [/math] и [math] \Im(z) = b [/math].

Комплексное число можно представить на плоскости, если отталкиваться от вещественной и мнимой частей, как от абсциссы и ординаты. Если задавать вектор не в прямоугольной системе координат, а в полярной, то приходится работать с углами.


Определение:
[math] |z|=r=\sqrt{a^2 + b^2} [/math].


Определение:
[math] \mathrm{Arg}\,(z) = \Phi = \phi + 2 \pi k[/math], где [math] k [/math] - целое число.

[math] \mathrm{tg}\,\phi=\dfrac{b}{a} [/math]

[math] \sin \phi=\dfrac{b}{r} [/math]

[math] \cos \phi=\dfrac{a}{r} [/math]


Отсюда получаем формулы:

  • [math]a + bi = r (\cos \phi + i \sin \phi)[/math]
  • [math]z_1z_2 = r_1r_2 (\cos (\phi_1+\phi_2) + i \sin (\phi_1+\phi_2))[/math]
  • [math]\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} (\cos (\phi_1-\phi_2) + i \sin (\phi_1-\phi_2))[/math]
  • [math]z^n = r (\cos \phi + i \sin \phi)[/math]

Ссылки[править]