Мера Лебега в R^n — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 22 промежуточные версии 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Объём n-мерного прямоугольника|<<]][[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
 
 
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
 
  
 
Последняя теорема показывает, что <tex>v</tex> {{---}} мера на <tex>\mathcal{R}</tex>.
 
Последняя теорема показывает, что <tex>v</tex> {{---}} мера на <tex>\mathcal{R}</tex>.
  
Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^n</tex>.
+
Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset 2^{\mathbb{R}^n</tex>.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Полученная мера <tex>\lambda_n</tex> {{---}} <tex>n</tex>-мерная мера Лебега (можно просто <tex>\lambda</tex>).
+
|definition=Полученная мера <tex>\lambda_n</tex> {{---}} <tex>n</tex>-мерная '''мера Лебега''' (можно просто <tex>\lambda</tex>).
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Множества <tex>E\in\mathcal{A}</tex> {{---}} измеримые по Лебегу
+
|definition=Множества <tex>E\in\mathcal{A}</tex> {{---}} '''измеримые по Лебегу'''.
 
}}
 
}}
  
 
Цель этого параграфа {{---}} устрановить структуру множества, измеримого по Лебегу. Пойдём от простого к сложному, базируясь на общем критерии <tex>\mu^*</tex>-измеримости и на том, что <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-алгебра.
 
Цель этого параграфа {{---}} устрановить структуру множества, измеримого по Лебегу. Пойдём от простого к сложному, базируясь на общем критерии <tex>\mu^*</tex>-измеримости и на том, что <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-алгебра.
 +
 +
== Измеримые по Лебегу множества ==
  
 
<tex>\forall\bar x \in \mathbb{R}^n</tex> обозначим за <tex>\Pi_p = [\bar x - \frac1p, \bar x + \frac1p)</tex>
 
<tex>\forall\bar x \in \mathbb{R}^n</tex> обозначим за <tex>\Pi_p = [\bar x - \frac1p, \bar x + \frac1p)</tex>
Строка 31: Строка 31:
 
Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.
 
Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.
  
Возьмём <tex>I = [0; 1)</tex>, <tex>\lambda I = 1</tex>, <tex> E </tex> — все рациональные числа на <tex> I </tex>. <tex> E </tex> — счётное, всюду плотное. Тогда <tex> \lambda E  = 0</tex>, а <tex> \lambda \overline E = 1 - \lambda E = 1 </tex>. То есть для иррациональных чисел мера Лебега — 1. Парадокс({{TODO| t = почему?}})
+
Возьмём <tex>I = [0; 1)</tex>, <tex>\lambda I = 1</tex>, <tex> E </tex> — все рациональные числа на <tex> I </tex>. <tex> E </tex> — счётное, всюду плотное. Тогда <tex> \lambda E  = 0</tex>, а <tex> \lambda \overline E = 1 - \lambda E = 1 </tex>. То есть для иррациональных чисел мера Лебега — 1. Это, в некотором смысле, парадоксальный результат, потому что искусственных объектов, которые мы определили в начале всего курса матанализа, оказалось ужасно, невероятно, невообразимо много по сравнению с познаваемыми нами рациональными числами.
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Бог есть.
 +
|proof=
 +
К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но <tex>\lambda[0;1) = 1</tex>. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, Бог есть.
 +
}}
 +
 
 +
Если взять произвольный параллелепипед в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, то, за счет непрерывности обьема, как функции точек параллелепипеда, мы можем строить и ячейку в нем, и ячейку, включающую его (причем объем ячеек отличается на <tex>\varepsilon</tex>). Значит, параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в <tex>\mathbb{R}^n</tex>. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Бог есть
+
|statement=
 +
Открытое множество в <tex> \mathbb{R}^n </tex> измеримо по Лебегу.
 +
|proof=
 +
Множество точек с рациональными координатами всюду плотно. Если рассмотреть совокупность открытых шаров с центром в рациональных точках и рациональных радиусов, то множество таких шаров будет счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды, которые, как известно, измеримы. Если мы возьмем любую точку, то она будет содержаться во множестве вместе с некоторым параллелепипедом. Далее, эту точку можно приблизить рациональными координатами сколь угодно точно; для каждого приближения можно построить параллеллепипед с этой точкой, содержащийся в уже построенном параллелепипеде. Значит, открытое множество можно представить, как счетное объединение открытых параллелепипедов, содержащихся в нем, поэтому, оно измеримо.
 +
}}
 +
 
 +
Класс измеримых множеств есть <tex>\sigma</tex>-алгебра. Замкнутое множество есть дополнение к открытому, значит, оно тоже измеримо.
 +
 
 +
Логика рассуждений во многих последующих теоремах будет такова: из множеств, измеримость которых ясна, путем счетного числа операций пересечения и объединения пошагово строим интересующий нас объект.
 +
 
 +
== Теорема о внешней мере Лебега ==
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> E \subset \mathbb R ^n </tex>. Тогда <tex> \lambda^*E = \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex> (<tex> G </tex> - открытые множества).
 +
|proof=
 +
Так как <tex> E \subset G </tex>, то, по монотонности внешней меры, <tex> \lambda^* E \le \lambda^* G = \lambda G </tex>. Переходя к нижней грани, получаем <tex> \lambda^*E \le \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex>.
 +
 
 +
Докажем теперь противоположное неравенство.
 +
Как обычно, будем рассматривать случай <tex> \lambda^* E < +\infty </tex>, для <tex> \lambda^* E = +\infty </tex> оно тривиально.
 +
 
 +
Внешняя мера Лебега порождена функцией объема на полукольце ячеек. Значит, <tex> \forall \varepsilon > 0: E \subset \bigcup\limits_{m} A_m </tex> - объединение ячеек, такое, что <tex> \sum\limits_{m} v(A_m) < \lambda^* E + \varepsilon </tex>.
 +
 
 +
За счет непрерывности объема, для любого <tex> A_m </tex> существует <tex> B_m </tex> - открытый параллелепипед, такой, что <tex> A_m \subset B_m </tex> и <tex> v(B_m) < v(A_m) + \frac{\varepsilon}{2^m} </tex>.
 +
 
 +
<tex> A_m \subset B_m </tex>, поэтому <tex>E \subset \bigcup\limits_m B_m = G, G </tex> - открытое множество.
 +
 
 +
<tex> \sum\limits_m v(B_m) \le \sum\limits_m v(A_m) + \varepsilon \sum\limits_m \frac1{2^m} = \sum\limits_m  v(A_m) + \varepsilon </tex>
 +
 
 +
Как мы ранее выяснили, <tex> \sum\limits_{m} v(A_m) < \lambda^* E + \varepsilon </tex>, поэтому, <tex> \sum\limits_m v(B_m) < \lambda^* E + 2\varepsilon </tex>.
 +
 
 +
Так как <tex> G = \bigcup\limits_m B_m </tex>, то <tex> \lambda G \le \sum\limits_m v(B_m) </tex>.
 +
 
 +
Значит, для любого <tex> \varepsilon > 0 </tex> есть открытое <tex> G </tex>, содержащее <tex> E </tex>, такое, что <tex> \lambda G < \lambda^* E + 2\varepsilon </tex>.
 +
 
 +
При <tex> \varepsilon \rightarrow 0 </tex> получаем требуемое неравенство.
 +
}}
 +
 
 +
Выведем ряд важных следствий из этой теоремы.
 +
 
 +
Далее нам пригодятся множества <tex> \Delta_p = [-p; p) \times [-p; p) \times \ldots \times [-p; p), p \in \mathbb N </tex>
 +
 
 +
Несложно заметить, что <tex>\mathbb R ^n = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} \Delta_p </tex>.
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда:
 +
# <tex> \forall \varepsilon </tex> существует открытое <tex> G </tex>, такое, что <tex> E \subset G, \lambda(G \setminus E) < \varepsilon </tex>.
 +
# <tex> \forall \varepsilon </tex> существует замкнутое <tex> F </tex>, такое, что <tex> F \subset E, \lambda(E \setminus F) < \varepsilon </tex>.
 +
|proof=
 +
 
 +
Сначала докажем первый пункт теоремы.
 +
 
 +
Если мера <tex> E </tex> конечна, то просто воспользуемся только что доказанной теоремой:
 +
 
 +
<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> есть открытое <tex> G </tex>: <tex> \lambda G - \lambda E < \varepsilon</tex>. По аддитивности меры, <tex>\lambda G - \lambda E = \lambda (G \setminus E)</tex>, и требуемое выполнено.
 +
 
 +
Рассмотрим теперь случай, когда мера <tex>E</tex> бесконечна:
 +
 
 +
<tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (E \cap \Delta_p) </tex>, для любого <tex>p</tex> верно: <tex>\lambda (E \cap \Delta_p) < \lambda (\Delta_p) < \infty</tex>.
 +
 
 +
Случай конечной меры был доказан, поэтому <tex> \forall \varepsilon </tex> можно взять <tex> G_p </tex>, такое, что <tex> E \cap \Delta_p \subset G_p, \lambda(G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) < \frac{\varepsilon}{2^p} </tex>.
 +
 
 +
Возьмем в качестве требуемого множества <tex>G</tex> объединение всех <tex>G_p</tex>: <tex>G = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} G_p</tex> открыто и содержит <tex>E</tex>.
 +
 
 +
<tex>G \setminus E \subset \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p))</tex>.
 +
 
 +
Тогда, по свойству меры, <tex>\lambda (G \setminus E) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^p} = \varepsilon</tex>.
 +
 
 +
Второй пункт доказывается переходом к дополнениям:
 +
 
 +
Пусть <tex>\overline E = \mathbb R ^n \setminus E</tex>, по первому пункту, <tex> \forall \varepsilon </tex> есть открытое <tex> G:\ \overline E \subset G, \lambda(G \setminus \overline E) < \varepsilon </tex>.
 +
 
 +
Пусть <tex>F = \overline G</tex>. По определению, <tex>F</tex> {{---}} замкнутое множество. Так как <tex>\overline E \subset G</tex>, то <tex>\overline G \subset E,\ \lambda(E\setminus F) = \lambda (G \setminus \overline E) < \varepsilon</tex>, и требуемые условия выполнены.
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда <tex> \lambda E = \sup\limits_{F: F \subset E} \lambda F </tex> (F - замкнутые множества).
 
|proof=
 
|proof=
К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но <tex>\lambda[0;1) = 1</tex>. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, <s>б</s>Бог есть.
+
Для доказательства достаточно воспользоваться вторым пунктом предыдущей теоремы и устремить <tex> \varepsilon </tex> к нулю.
 
}}
 
}}
  
{{TODO|t=Achtung! Тут есть ещё что-то(или уже нет?)}}
+
Если <tex> A = \bigcup\limits_m F_m </tex> (все <tex>F_m</tex> - замкнуты), то оно называется множеством типа <tex> F_{\sigma} </tex>.
 +
 
 +
Если <tex> B = \bigcap\limits_m G_m </tex> (все <tex>G_m</tex> - открыты), то оно называется множеством типа <tex> G_{\Delta} </tex>.
 +
 
 +
Такие множества также являются измеримыми по Лебегу, как счетное объединение (пересечение) измеримых множеств (ранее показывалось, что открытые и замкнутые множества измеримы).
  
Если взять произвольный паралл. в <tex>R^?</tex>,то за счет непрерывности обьема, как функции точек паралл., мы можем строить и ячейку в нем и ячейку, включающую параллелепипед(причем обем ячеек отличается на <tex>\epsilon</tex>). Значит параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в <tex>R^n</tex>. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке. Оно будет измеримо по Лебегу. Почему? Множество точек с иррац. коорд. всюду плотно.Если рассм. совокупность открытых шаров с центром в рац. точках и рац. радиусов, то множество таких шаров счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды. Они измеримы. И если мы возьмем любую точку, она будет сожерж . в мн-ве с некоторым параллелеипипедом. Далее приближаем точку к рац. коорд. -> строим паралл. с этой точкой и содерж. в уже построенном паралл.
+
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда оно представимо в виде <tex> E = A \cup B </tex>, причем A - множество типа <tex> F_{\sigma} </tex>, а <tex> \lambda B = 0</tex>.
 +
|proof=
 +
Воспользуемся вторым пунктом предпоследней теоремы: пусть <tex> \varepsilon_m = \frac1m </tex>, тогда будем брать <tex> F_m \subset E: \lambda(E\setminus F_m) < \frac1m </tex>.
  
Класс измеримых мне-в есть <tex>\sigma</tex>-алгебра. Замкнутое множество есть дополнение к открытому, значит оно тоже измеримо.
+
Пусть <tex> A = \bigcup\limits_m F_m </tex>, по определению, <tex> A </tex> - множество типа <tex> F_{\sigma} </tex>.
  
Логика рассуждений: из множества, измеримость которых ясна, путем счетного числа операций пересечения и лбъединения стоим интересующий нас объект. окда?
+
Тогда <tex> B = E \setminus A, B \subset E \setminus F_m\ \forall m </tex>
  
 +
По монотонности меры, <tex> \lambda B \le \lambda (E \setminus F_m) < \frac1m </tex>. При <tex> m \rightarrow \infty </tex>, получаем <tex> \lambda B = 0 </tex>, что и требовалось.
 +
}}
  
=Далее следует теорема о лямбда со звездочкой. жуткое доказательство.Далее идт ряд ВАЖНЫХ следствий==
+
[[Объём n-мерного прямоугольника|<<]][[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
 +
[[Категория: Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 19:07, 4 сентября 2022

<<>> на главную

Последняя теорема показывает, что [math]v[/math] — мера на [math]\mathcal{R}[/math].

Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате [math]v[/math] будет распространено на [math]\sigma[/math]-алгебру множеств [math]\mathcal{A} \subset 2^{\mathbb{R}^n} [/math].


Определение:
Полученная мера [math]\lambda_n[/math][math]n[/math]-мерная мера Лебега (можно просто [math]\lambda[/math]).


Определение:
Множества [math]E\in\mathcal{A}[/math]измеримые по Лебегу.


Цель этого параграфа — устрановить структуру множества, измеримого по Лебегу. Пойдём от простого к сложному, базируясь на общем критерии [math]\mu^*[/math]-измеримости и на том, что [math]\mathcal{A}[/math][math]\sigma[/math]-алгебра.

Измеримые по Лебегу множества

[math]\forall\bar x \in \mathbb{R}^n[/math] обозначим за [math]\Pi_p = [\bar x - \frac1p, \bar x + \frac1p)[/math]

Тогда [math]\{\bar x\} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \Pi_p[/math]

[math]\{\bar x\}[/math] — одноэлементное множество. Так как каждая ячейка измерима по Лебегу, [math]\mathcal{A}[/math][math]\sigma[/math]-алгебра, то получаем, что любое одноэлементное множество(точка) измеримо по Лебегу.

По монотонности меры, [math]\lambda(\bar x) \leq \lambda\Pi_p = v(\Pi_p) = \left(\frac{2}{p} \right)^n \xrightarrow{p\to\infty} 0[/math]

Значит, [math]\lambda(\bar x) = 0[/math]. Итак, мера точки равна нулю.

[math]E = \{\bar x_1, \bar x_2, \ldots, \bar x_n, \ldots \}[/math] — не более, чем счётное множество точек. Тогда [math]\lambda E = \sum\limits_j \lambda\bar x_j = 0[/math]

Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.

Возьмём [math]I = [0; 1)[/math], [math]\lambda I = 1[/math], [math] E [/math] — все рациональные числа на [math] I [/math]. [math] E [/math] — счётное, всюду плотное. Тогда [math] \lambda E = 0[/math], а [math] \lambda \overline E = 1 - \lambda E = 1 [/math]. То есть для иррациональных чисел мера Лебега — 1. Это, в некотором смысле, парадоксальный результат, потому что искусственных объектов, которые мы определили в начале всего курса матанализа, оказалось ужасно, невероятно, невообразимо много по сравнению с познаваемыми нами рациональными числами.

Утверждение:
Бог есть.
[math]\triangleright[/math]
К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но [math]\lambda[0;1) = 1[/math]. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, Бог есть.
[math]\triangleleft[/math]

Если взять произвольный параллелепипед в [math]\mathbb{R}^n[/math], то, за счет непрерывности обьема, как функции точек параллелепипеда, мы можем строить и ячейку в нем, и ячейку, включающую его (причем объем ячеек отличается на [math]\varepsilon[/math]). Значит, параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в [math]\mathbb{R}^n[/math]. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке.

Утверждение:
Открытое множество в [math] \mathbb{R}^n [/math] измеримо по Лебегу.
[math]\triangleright[/math]
Множество точек с рациональными координатами всюду плотно. Если рассмотреть совокупность открытых шаров с центром в рациональных точках и рациональных радиусов, то множество таких шаров будет счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды, которые, как известно, измеримы. Если мы возьмем любую точку, то она будет содержаться во множестве вместе с некоторым параллелепипедом. Далее, эту точку можно приблизить рациональными координатами сколь угодно точно; для каждого приближения можно построить параллеллепипед с этой точкой, содержащийся в уже построенном параллелепипеде. Значит, открытое множество можно представить, как счетное объединение открытых параллелепипедов, содержащихся в нем, поэтому, оно измеримо.
[math]\triangleleft[/math]

Класс измеримых множеств есть [math]\sigma[/math]-алгебра. Замкнутое множество есть дополнение к открытому, значит, оно тоже измеримо.

Логика рассуждений во многих последующих теоремах будет такова: из множеств, измеримость которых ясна, путем счетного числа операций пересечения и объединения пошагово строим интересующий нас объект.

Теорема о внешней мере Лебега

Теорема:
Пусть [math] E \subset \mathbb R ^n [/math]. Тогда [math] \lambda^*E = \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G [/math] ([math] G [/math] - открытые множества).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Так как [math] E \subset G [/math], то, по монотонности внешней меры, [math] \lambda^* E \le \lambda^* G = \lambda G [/math]. Переходя к нижней грани, получаем [math] \lambda^*E \le \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G [/math].

Докажем теперь противоположное неравенство. Как обычно, будем рассматривать случай [math] \lambda^* E \lt +\infty [/math], для [math] \lambda^* E = +\infty [/math] оно тривиально.

Внешняя мера Лебега порождена функцией объема на полукольце ячеек. Значит, [math] \forall \varepsilon \gt 0: E \subset \bigcup\limits_{m} A_m [/math] - объединение ячеек, такое, что [math] \sum\limits_{m} v(A_m) \lt \lambda^* E + \varepsilon [/math].

За счет непрерывности объема, для любого [math] A_m [/math] существует [math] B_m [/math] - открытый параллелепипед, такой, что [math] A_m \subset B_m [/math] и [math] v(B_m) \lt v(A_m) + \frac{\varepsilon}{2^m} [/math].

[math] A_m \subset B_m [/math], поэтому [math]E \subset \bigcup\limits_m B_m = G, G [/math] - открытое множество.

[math] \sum\limits_m v(B_m) \le \sum\limits_m v(A_m) + \varepsilon \sum\limits_m \frac1{2^m} = \sum\limits_m v(A_m) + \varepsilon [/math]

Как мы ранее выяснили, [math] \sum\limits_{m} v(A_m) \lt \lambda^* E + \varepsilon [/math], поэтому, [math] \sum\limits_m v(B_m) \lt \lambda^* E + 2\varepsilon [/math].

Так как [math] G = \bigcup\limits_m B_m [/math], то [math] \lambda G \le \sum\limits_m v(B_m) [/math].

Значит, для любого [math] \varepsilon \gt 0 [/math] есть открытое [math] G [/math], содержащее [math] E [/math], такое, что [math] \lambda G \lt \lambda^* E + 2\varepsilon [/math].

При [math] \varepsilon \rightarrow 0 [/math] получаем требуемое неравенство.
[math]\triangleleft[/math]

Выведем ряд важных следствий из этой теоремы.

Далее нам пригодятся множества [math] \Delta_p = [-p; p) \times [-p; p) \times \ldots \times [-p; p), p \in \mathbb N [/math]

Несложно заметить, что [math]\mathbb R ^n = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} \Delta_p [/math].

Теорема:
Пусть [math] E [/math] измеримо по Лебегу. Тогда:
  1. [math] \forall \varepsilon [/math] существует открытое [math] G [/math], такое, что [math] E \subset G, \lambda(G \setminus E) \lt \varepsilon [/math].
  2. [math] \forall \varepsilon [/math] существует замкнутое [math] F [/math], такое, что [math] F \subset E, \lambda(E \setminus F) \lt \varepsilon [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Сначала докажем первый пункт теоремы.

Если мера [math] E [/math] конечна, то просто воспользуемся только что доказанной теоремой:

[math] \forall \varepsilon \gt 0 [/math] есть открытое [math] G [/math]: [math] \lambda G - \lambda E \lt \varepsilon[/math]. По аддитивности меры, [math]\lambda G - \lambda E = \lambda (G \setminus E)[/math], и требуемое выполнено.

Рассмотрим теперь случай, когда мера [math]E[/math] бесконечна:

[math]E = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (E \cap \Delta_p) [/math], для любого [math]p[/math] верно: [math]\lambda (E \cap \Delta_p) \lt \lambda (\Delta_p) \lt \infty[/math].

Случай конечной меры был доказан, поэтому [math] \forall \varepsilon [/math] можно взять [math] G_p [/math], такое, что [math] E \cap \Delta_p \subset G_p, \lambda(G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \lt \frac{\varepsilon}{2^p} [/math].

Возьмем в качестве требуемого множества [math]G[/math] объединение всех [math]G_p[/math]: [math]G = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} G_p[/math] открыто и содержит [math]E[/math].

[math]G \setminus E \subset \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p))[/math].

Тогда, по свойству меры, [math]\lambda (G \setminus E) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^p} = \varepsilon[/math].

Второй пункт доказывается переходом к дополнениям:

Пусть [math]\overline E = \mathbb R ^n \setminus E[/math], по первому пункту, [math] \forall \varepsilon [/math] есть открытое [math] G:\ \overline E \subset G, \lambda(G \setminus \overline E) \lt \varepsilon [/math].

Пусть [math]F = \overline G[/math]. По определению, [math]F[/math] — замкнутое множество. Так как [math]\overline E \subset G[/math], то [math]\overline G \subset E,\ \lambda(E\setminus F) = \lambda (G \setminus \overline E) \lt \varepsilon[/math], и требуемые условия выполнены.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math] E [/math] измеримо по Лебегу. Тогда [math] \lambda E = \sup\limits_{F: F \subset E} \lambda F [/math] (F - замкнутые множества).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для доказательства достаточно воспользоваться вторым пунктом предыдущей теоремы и устремить [math] \varepsilon [/math] к нулю.
[math]\triangleleft[/math]

Если [math] A = \bigcup\limits_m F_m [/math] (все [math]F_m[/math] - замкнуты), то оно называется множеством типа [math] F_{\sigma} [/math].

Если [math] B = \bigcap\limits_m G_m [/math] (все [math]G_m[/math] - открыты), то оно называется множеством типа [math] G_{\Delta} [/math].

Такие множества также являются измеримыми по Лебегу, как счетное объединение (пересечение) измеримых множеств (ранее показывалось, что открытые и замкнутые множества измеримы).

Теорема:
Пусть [math] E [/math] измеримо по Лебегу. Тогда оно представимо в виде [math] E = A \cup B [/math], причем A - множество типа [math] F_{\sigma} [/math], а [math] \lambda B = 0[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся вторым пунктом предпоследней теоремы: пусть [math] \varepsilon_m = \frac1m [/math], тогда будем брать [math] F_m \subset E: \lambda(E\setminus F_m) \lt \frac1m [/math].

Пусть [math] A = \bigcup\limits_m F_m [/math], по определению, [math] A [/math] - множество типа [math] F_{\sigma} [/math].

Тогда [math] B = E \setminus A, B \subset E \setminus F_m\ \forall m [/math]

По монотонности меры, [math] \lambda B \le \lambda (E \setminus F_m) \lt \frac1m [/math]. При [math] m \rightarrow \infty [/math], получаем [math] \lambda B = 0 [/math], что и требовалось.
[math]\triangleleft[/math]

<<>> на главную