Изменения
Нет описания правки
<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists \lambda_1, \lambda_2: p_M(x) < \lambda_1 < p_M(x) + \varepsilon </tex>, <tex> p_M(y) < \lambda_2 < p_M(y) + \varepsilon </tex>, <tex> x \in \lambda_1 M, y \in \lambda_2 M \implies {x \over \lambda_1}, {y \over \lambda_2} \in M </tex>. Рассмотрим <tex> \alpha = {\lambda_1 \over \lambda_1 + \lambda_2}, \beta = {\lambda_2 \over \lambda_1 + \lambda_2} </tex>, заметим, что <tex> \alpha + \beta = 1 </tex>, из выпуклости получим, что <tex> \alpha {x \over \lambda_1} + \beta {y \over \lambda_2} \in M \implies {x + y \over \lambda_1 + \lambda_2} \in M \implies x + y \in (\lambda_1 + \lambda_2) M </tex>, то есть <tex> p_M(x + y) < \lambda_1 + \lambda_2 < p_M(x) + p_M(y) + 2 \varepsilon </tex>, сделав предельный переход, получим <tex> p_M(x + y) \le p_M(x) + p_M(y) </tex>.
Однородность: <tex> p_M(\lambda x) = \inf \{r > 0: \lambda x \in r M \} = \inf \{r > 0: x \in \frac{r}{|\lambda|} M \} </tex> <tex>= \inf \{ | \lambda | \frac{r}{ | \lambda | } > 0: x \in \frac{r}{|\lambda|} M \} = |\lambda| p_M(x) </tex> проверяется аналогично.
}}
