85
правок
Изменения
→Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов
Число <tex>\frac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>;
|proof=
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема:
{{Теорема
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами
|statement=
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:
<tex dpi = "160">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex>
Где <tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;
<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;
<tex>[n] := {1,2...n}</tex>;
<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где компоненты номеров, входящих в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули;
Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> <tex>r^n_+ := (max\{r,0\})^n</tex>.
С доказательством этой теоремы можно ознакомиться [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесь].
}}
[[Файл:HypercubeEuler2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} векторное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что модуль <tex>1_k</tex> зависит только лишь от мощности <tex>K</tex>, а угол между <tex>w</tex> и <tex>1_K</tex> одинаков ввиду того, как определяются эти вектора. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>.
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex>
Положим <tex>W_n^m</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>.
