Регулярные выражения с обратными ссылками

Базовые определения

Определение:

Группа (англ. capture group) — часть регулярного выражения. Общепринятое условное обозначение группы — круглые скобки.

Пример: [math]aba(ca)ba.\,[/math] В данном регулярном выражении представлена одна группа — [math](ca).[/math]

Каждой группе соответствует порядковый номер. Нумерация идёт слева направо: номеру группы соответствует порядковый номер открывающей круглой скобки этой группы в тексте регулярного выражения (исключая случаи, когда скобки являются частью синтаксической конструкции).

Пример: [math](ab(cd))(ef).[/math] Группа [math]№1[/math] — [math](ab(cd)),\,[/math] группа [math]№2[/math] — [math](cd),\,[/math] группа [math]№3[/math] — [math](ef)[/math]

Определение:

Обратная ссылка (англ. backreference) — механизм повторного использования групп или слов группы.

Для повторного использования слова группы используется обозначение [math]\backslash n,\,[/math] где [math]n[/math] — номер группы.

Пример использования: [math]((1\,|\,0)^*)\backslash 1.\,[/math] Данное регулярное выражение будет задавать язык тандемных повторов. Несмотря на то, что он не является регулярным, его можно представить с помощью механизма обратных ссылок.

Для повторного использования регулярного выражения группы используется обозначение [math](?n),\,[/math] где [math]n[/math] — номер группы. Использование круглых скобок обусловленно тем, что [math]?,[/math] как управляющий символ, уже используется. В данном случае круглые скобки следует воспринимать как общепринятое условное обозначение обратной ссылки; запись [math](?n)[/math] не задаёт группу. Например, в выражении [math](aba)(?1)(caba)(?2)\;[/math] ссылке [math](?2)[/math] будет соответствовать [math](caba),\,[/math] а не [math](?1).[/math]

Обратите внимание, что символы круглых скобок и обратной косой черты являются управляющими. Чтобы использовать их непосредственно как часть слова, их нужно экранировать.

Пример экранирования (в данном случае в качестве символа экранирования используется символ обратной косой черты): [math]\backslash 1[/math] — обратная ссылка на первую группу, [math]\backslash\backslash 1[/math] — слово, состоящее из символа обратной косой черты и единицы.

Определение:

Регулярные выражения с обратными ссылками (англ. regex with backreferences) — регулярные выражения, использующие механизм обратных ссылок.

Примеры

1. Регулярное выражение [math](aba?)c(?1)\,[/math] породит язык [math]L=\{abcab,abacab,abcaba,abacaba\}.\;[/math] Для сравнения, запишем эквивалентное регулярное выражение без использования механизма обратных ссылок: [math](aba?)c(aba?).[/math]
2. [math](a^*)\backslash 1.\,[/math] Данное регулярное выражение будет допускать только слова, в которых количество букв [math]a[/math] чётно.
3. Выведем регулярное выражение для языка, состоящего из палиндромов фиксированной длины [math]n=2\cdot m\,[/math] или [math]\,n=2\cdot m+1[/math] над алфавитом [math]\Sigma=\{0,1\}[/math]:
   • для чётного [math]n[/math]: [math]\;\underbrace{(0\,|\,1)(0\,|\,1)(0\,|\,1)\dotsc(0\,|\,1)}_{m}\,\backslash m\dotsc\backslash 3\backslash 2\backslash 1;[/math]
   • для нечётного [math]n[/math]: [math]\;\underbrace{(0\,|\,1)(0\,|\,1)(0\,|\,1)\dotsc(0\,|\,1)}_{m}\,(0\,|\,1)\backslash m\dotsc\backslash 3\backslash 2\backslash 1,\;[/math]
4. Запишем выражение для языка [math]L=b^kab^kab^ka,\,k\gt 0.\,[/math] Данный язык не является ни регулярным, ни контекстно-свободным (по лемме о разрастании), то есть является контекстно-зависимым, но также легко представим с помощью обратных ссылок:

   [math]L=(bb^*a)\backslash 1\backslash 1[/math].

5. Язык [math]L=a^nb^n,\,n\gt 0\,[/math] можно представить при помощи обратных ссылок:

   [math]L=(a(?1)?b).[/math]

   Следущий за ссылкой [math](?1)[/math] знак вопроса обозначает использование группы [math]0[/math] или [math]1[/math] раз, то есть осуществление рекурсивного вызова или его окончание.

   [math](?1)[/math] ссылается на первую группу — [math](a(?1)?b)[/math], что равносильно рекурсивной зависимости:

   [math](a(?1)?b)=[/math]

   [math]=(a(a(?1)?b)?b)=[/math]

   [math]=(a(a(a(?1)?b)?b)?b)=[/math]

   [math]=(a(a(a(a(?1)?b)?b)?b)?b)=\dotsc[/math]

   Очевидно, что все слова из языка [math]L[/math] удовлетворяют данному регулярному выражению.

Теорема о КС-языках

Теорема:

С помощью механизма обратных ссылок можно представить любой контекстно-свободный язык.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Любую контекстно-свободную грамматику можно привести к нормальной форме Хомского, следовательно, достаточно доказать, что грамматику, заданную в такой форме, можно преобразовать в регулярное выражение с обратными ссылками. Рассмотрим правила, которые могут содержаться в такой грамматике: [math]A\rightarrow BC\\A\rightarrow a\\S\rightarrow\varepsilon[/math] Представим каждое из них в виде регулярного выражения с обратными ссылками. Используя ссылки на регулярные выражения, соответствующие нетерминалам [math]B[/math] и [math]C[/math], можно представить первое правило: [math]A\rightarrow BC\leftrightarrow A\rightarrow ((?n_B)\,(?n_C)),\,[/math] где [math](?n_B)[/math] и [math](?n_C)[/math] соответствуют нетерминалам [math]B[/math] и [math]C[/math]; Второе и третье правила не требуют использования обратных ссылок: [math]A\rightarrow a\leftrightarrow A\rightarrow (a);\\S\rightarrow\varepsilon\leftrightarrow S\rightarrow ().[/math] Если какому-то нетерминалу [math]A[/math] соответствуют несколько регулярных выражений [math]r_1, r_2, \dotsc, r_n[/math], заменить их на одно: [math]A=(r_1\,|\,r_2\,|\,\dotsc\,|\,r_n)\,[/math] (очевидно, что оно также будет соответствовать этому нетерминалу). Регулярное выражение для данной КС-грамматики соответствует нетерминалу [math]S,\,[/math] однако в нём могут встречаться ссылки на внешние — отличные от [math]S[/math] — группы. Будем обрабатывать такие ссылки, используя метод левостороннего вывода. При обработке очередной ссылки: если эта ссылка встречается впервые, вместо неё подставим соответствующее регулярное выражение и запомним номер его группы в текущем регулярном выражении; иначе вместо этой ссылки подставим ссылку на соответствующую группу в текущем регулярном выражении. После соответствующих замен регулярное выражение для [math]S[/math] будет искомым.

[math]\triangleleft[/math]

Пример преобразования

Рассмотрим следующую КС-грамматику:

[math]S\rightarrow cA\\S\rightarrow dA\\S\rightarrow cB\\S\rightarrow eB\\A\rightarrow a\\B\rightarrow b[/math]

1. Приведём её к нормальной форме Хомского:

   [math]S\rightarrow CA\\S\rightarrow DA\\S\rightarrow CB\\S\rightarrow EB\\A\rightarrow a\\B\rightarrow b\\C\rightarrow c\\D\rightarrow d\\E\rightarrow e[/math]

2. Каждому нетерминалу поставим в соответствие свой номер:

   [math]S\leftrightarrow 1, A\leftrightarrow 2, B\leftrightarrow 3, C\leftrightarrow 4, D\leftrightarrow 5, E\leftrightarrow 6[/math]

3. Каждое правило представим в виде регулярного выражения с обратными ссылками:

   [math]S\rightarrow ((?4)(?2))\\S\rightarrow ((?5)(?2))\\S\rightarrow ((?4)(?3))\\S\rightarrow ((?6)(?3))\\A\rightarrow (a)\\B\rightarrow (b)\\C\rightarrow (c)\\D\rightarrow (d)\\E\rightarrow (e)[/math]

4. Объединим регулярные выражения, соответствующие одинаковым нетерминалам:

   [math]S\rightarrow (((?4)(?2))\,|\,((?5)(?2))\,|\,((?4)(?3))\,|\,((?6)(?3)))\\A\rightarrow (a)\\B\rightarrow (b)\\C\rightarrow (c)\\D\rightarrow (d)\\E\rightarrow (e)[/math]

5. Избавимся от внешних ссылок в регулярном выражении для [math]S[/math]:

Пошаговый вывод

№	Текущее регулярное выражение
1.	[math](((\underline{\textbf{?4}})(\underline{?2}))\,|\,((\underline{?5})(\underline{?2}))\,|\,((\underline{?4})(\underline{?3}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,[/math]
2.	[math](((c)(\underline{\textbf{?2}}))\,|\,((\underline{?5})(\underline{?2}))\,|\,((\underline{?4})(\underline{?3}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,[/math]
3.	[math](((c)(a))\,|\,((\underline{\textbf{?5}})(\underline{?2}))\,|\,((\underline{?4})(\underline{?3}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,[/math]
4.	[math](((c)(a))\,|\,((d)(\underline{\textbf{?2}}))\,|\,((\underline{?4})(\underline{?3}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,[/math]
5.	[math](((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((\underline{\textbf{?4}})(\underline{?3}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,[/math]
6.	[math](((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((?3)(\underline{\textbf{?3}}))\,|\,((\underline{?6})(\underline{?3})))\,[/math]
7.	[math](((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((?3)(b))\,|\,((\underline{\textbf{?6}})(\underline{?3})))\,[/math]
8.	[math](((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((?3)(b))\,|\,((e)(\underline{\textbf{?3}})))\,[/math]
9.	[math](((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((?3)(b))\,|\,((e)(?8)))\,[/math]

№ группы в [math]S[/math]

[math]S[/math]	[math]A[/math]	[math]B[/math]	[math]C[/math]	[math]D[/math]	[math]E[/math]
1
1			3
1	4		3
1	4		3	6
1	4		3	6
1	4		3	6
1	4	8	3	6
1	4	8	3	6	10
1	4	8	3	6	10

Напоминание: круглые скобки в записи обратной ссылки являются синтаксической конструкцией и не задают группу.

Таким образом, регулярное выражение для данной грамматики будет выглядеть так: [math](((c)(a))\,|\,((d)(?4))\,|\,((?3)(b))\,|\,((e)(?8))).[/math]

Рассмотрим другой пример:

[math]S\rightarrow\varepsilon\\S\rightarrow (S)S\\S\rightarrow S(S)[/math]

1. Приведём её к нормальной форме Хомского:

   [math]S\rightarrow\varepsilon\\S\rightarrow AS\\S\rightarrow SA\\A\rightarrow OB\\B\rightarrow SC\\O\rightarrow (\\C\rightarrow\; )[/math]

2. Каждому нетерминалу поставим в соответствие свой номер:

   [math]S\leftrightarrow 1, A\leftrightarrow 2, B\leftrightarrow 3, O\leftrightarrow 4, C\leftrightarrow 5[/math]

3. Каждое правило представим в виде регулярного выражения с обратными ссылками:

   [math]S\rightarrow ()\\S\rightarrow ((?2)(?1))\\S\rightarrow ((?1)(?2))\\A\rightarrow ((?4)(?3))\\B\rightarrow ((?1)(?5))\\O\rightarrow (\backslash (\,)\\C\rightarrow (\backslash )\,)[/math]

4. Объединим регулярные выражения, соответствующие одинаковым нетерминалам:

   [math]S\rightarrow (()\,|\,((?2)(?1))\,|\,((?1)(?2)))\\A\rightarrow ((?4)(?3))\\B\rightarrow ((?1)(?5))\\O\rightarrow (\backslash (\,)\\C\rightarrow (\backslash )\,)[/math]

5. Избавимся от внешних ссылок в регулярном выражении для [math]S[/math]:

Пошаговый вывод

№	Текущее регулярное выражение
1.	[math](()\,|\,((\underline{\textbf{?2}})(?1))\,|\,((?1)(\underline{?2})))[/math]
2.	[math](()\,|\,(((\underline{\textbf{?4}})(\underline{?3}))(?1))\,|\,((?1)(\underline{?2})))[/math]
3.	[math](()\,|\,(((\backslash (\,)(\underline{\textbf{?3}}))(?1))\,|\,((?1)(\underline{?2})))[/math]
4.	[math](()\,|\,(((\backslash (\,)((?1)(\underline{\textbf{?5}})))(?1))\,|\,((?1)(\underline{?2})))[/math]
5.	[math](()\,|\,(((\backslash (\,)((?1)(\backslash )\,)))(?1))\,|\,((?1)(\underline{\textbf{?2}})))[/math]
6.	[math](()\,|\,(((\backslash (\,)((?1)(\backslash )\,)))(?1))\,|\,((?1)(?4)))[/math]

№ группы в [math]S[/math]

[math]S[/math]	[math]A[/math]	[math]B[/math]	[math]O[/math]	[math]C[/math]
1
1	4
1	4		5
1	4	6	5
1	4	6	5	7
1	4	6	5	7

Таким образом, регулярное выражение для данной грамматики будет выглядеть так: [math](()\,|\,(((\backslash (\,)((?1)(\backslash )\,)))(?1))\,|\,((?1)(?4))).[/math]

Применение

Регулярные выражения с обратными ссылками имеют бо́льшую мощность по сравнению с обычными. С их помощью реализуются как регулярные языки, так и контекстно-свободные грамматики, а также некоторые контекстно-зависимые (например, язык тандемных повторов).

Регулярные выражения в языках программирования зачастую поддерживают обратные ссылки. На практике их можно использовать, например, для парсинга [math]html[/math]-выражений (поиск подстрок, содержащихся в определённых тегах).

См. также

• Регулярные языки: два определения и их эквивалентность
• Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора
• Нормальная форма Хомского
• Иерархия Хомского формальных грамматик

Источники информации

• Работа с обратными ссылками в Java
• Визуализатор регулярных выражений
• habr.com — Истинное могущество регулярных выражений