Побитовые операции

Побитовые операции (англ. bitwise operations) — операции, производимые над цепочками битов. Выделяют два типа побитовых операций: логические операции и побитовые сдвиги.

Принцип работы

Логические побитовые операции

Битовые операторы И [math](AND,\ \&)[/math], ИЛИ [math](OR,\ \mid)[/math], НЕ [math](NOT,\ \sim)[/math] и исключающее ИЛИ [math](XOR,\ $\textasciicircum$,\ \oplus)[/math] используют те же таблицы истинности, что и их логические эквиваленты.

Побитовое И

Побитовое И используется для выключения битов. Любой бит, установленный в [math]0[/math], вызывает установку соответствующего бита результата также в [math]0[/math].

&
	11001010 11100010
	11000010

Побитовое ИЛИ

Побитовое ИЛИ используется для включения битов. Любой бит, установленный в [math]1[/math], вызывает установку соответствующего бита результата также в [math]1[/math].

|
	11001010 11100010
	11101010

Побитовое НЕ

Побитовое НЕ инвертирует состояние каждого бита исходной переменной.

~
	11001010
	00110101

Побитовое исключающее ИЛИ

Исключающее ИЛИ устанавливает значение бита результата в [math]1[/math], если значения в соответствующих битах исходных переменных различны.

^
	11001010 11100010
	00101000

Побитовые сдвиги

Операторы сдвига [math]\texttt{\lt \lt }[/math] и [math]\texttt{\gt \gt }[/math] сдвигают биты в переменной влево или вправо на указанное число. При этом на освободившиеся позиции устанавливаются нули (кроме сдвига вправо отрицательного числа, в этом случае на свободные позиции устанавливаются единицы, так как числа представляются в двоичном дополнительном коде и необходимо поддерживать знаковый бит).

Сдвиг влево может применяться для умножения числа на два, сдвиг вправо — для деления.

x = 7         // 00000111 (7)
x = x >> 1    // 00000011 (3)
x = x << 1    // 00000110 (6)
x = x << 5    // 11000000 (-64)
x = x >> 2    // 11110000 (-16)

В языке программирования Java существует также оператор беззнакового битового сдвига вправо [math]\texttt{\gt \gt \gt }[/math]. При использовании этого оператора на освободившиеся позиции всегда устанавливаются нули.

x = 7          // 00000111 (7)
x = x << 5     // 11100000 (-32)
x = x >>> 2    // 00111000 (56)

Применение

Сложные операции

Определение знака числа

Пусть дано число [math]x[/math]. Поскольку при сдвиге вправо на освобождающиеся позиции устанавливается бит знака, знак числа [math]x[/math] можно определить, выполнив сдвиг вправо на всю длину переменной:

int32 getSign(x: int32):
    if x != 0:
        mask = 1
    else:
        mask = 0

    return mask | (x >> 31)    // результатом будет -1, 0, или +1 
                               // для отрицательного, равного нулю и положительного числа x соответственно

Используя побитовые операции можно также узнать, различны ли знаки двух переменных [math]x[/math] и [math]y[/math]. Если числа имеют различный знак, то результат операции XOR, произведенной над их знаковыми битами, будет единицей. Поэтому неравенство [math](x \oplus y) \lt 0[/math] будет верно в том случае, если числа [math]x[/math] и [math]y[/math] разного знака.

Вычисление модуля числа без использования условного оператора

Пусть дано число [math]x[/math]. Если [math]x[/math] положительно, то [math]mask = 0[/math], и [math](x + mask) \oplus mask = x[/math]. В случае, если [math]x[/math] отрицательно, [math]mask = -1[/math]. Тогда получается, что мы работаем с числом [math]x[/math] так, как будто оно представлено в коде со сдвигом с тем отличием, что у нас знаковый бит принимает значение [math]1[/math] для отрицательных чисел, а [math]0[/math] — для положительных.

int32 abs1(x: int32):
    mask = x >> 31
    return (x + mask) [math]\oplus[/math] mask

int32 abs2(x: int32):
    mask = x >> 31
    return (x [math]\oplus[/math] mask) - mask

Нахождение минимума и максимума из двух чисел без использования условного оператора

Этот способ корректен только если можно утверждать, что величина [math](x - y)[/math] лежит между граничными значениями типа int.

Пусть даны числа [math]x[/math] и [math]y[/math] разрядности [math]n[/math]. Тогда, если [math]x \lt y[/math], то [math]((x - y) \texttt{\gt \gt } (n - 1)) = -1[/math] а если [math]x \geqslant y[/math], то [math]((x - y) \texttt{\gt \gt } (n - 1)) = 0[/math]. Выражение [math]((x - y) \& ((x - y) \texttt{\gt \gt } (n - 1))[/math] принимает значение [math]0[/math], если [math]x \geqslant y[/math] и [math](x - y)[/math], если [math]x \lt y[/math].

int32 min(x, y: int32):
    return y + ((x - y) & ((x - y) >> 31))

int32 max(x, y: int32):
    return x - ((x - y) & ((x - y) >> 31))

Проверка на то, является ли число степенью двойки

Пусть дано число [math]x[/math]. Тогда, если результатом выражения [math](x\ \&\&\ !(x\ \&\ (x - 1)))[/math] является единица, то число [math]x[/math] — степень двойки.

Правая часть выражения [math](!(x\ \&\ (x - 1)))[/math] будет равна единице, только если число [math]x[/math] равно [math]0[/math] или является степенью двойки. Если число [math]x[/math] является степенью двойки, то в двоичной системе счисления оно представляется следующим образом: [math]1\underbrace{0\dots0}_{n}[/math], где [math]n[/math] — показатель степени. Соответственно, выражение [math](x - 1)[/math] будет иметь вид [math]\underbrace{1\dots1}_{n}[/math], и [math]x\ \&\ (x - 1)[/math] равно [math]0[/math].

Операция логического И в данном выражении отсекает тот случай, когда [math](x = 0)[/math] и не является степенью двойки, но при этом правая часть [math](!(x\ \&\ (x - 1)))[/math] равна единице.

Нахождение младшего единичного бита

Пусть дано число [math]x[/math] и необходимо узнать его младший единичный бит.

Применим к числу [math]x[/math] побитовое отрицание, чтобы инвертировать значения всех его бит, а затем прибавим к полученному числу единицу. У результата первая часть (до младшего единичного бита) не совпадает с исходным числом [math]x[/math], а вторая часть совпадает. Применив побитовое И к этим двум числам, получим степень двойки, соответствующую младшему единичному биту исходного числа [math](x\ \&\ (\sim x + 1))[/math].

К такому же результату можно прийти, если сначала отнять от числа [math]x[/math] единицу, чтобы обнулить его младший единичный бит, а все последующие разряды обратить в [math]1[/math], затем инвертировать результат и применить побитовое И с исходным числом [math](x\ \&\ \sim (x - 1))[/math].

Нахождение старшего единичного бита

Пусть дано число [math]x[/math] и необходимо узнать его старший единичный бит.

Рассмотрим некоторое число, представим его как [math]0\dots01b \dots b[/math], где [math]b[/math] — любое значение бита. Тогда, если совершить битовый сдвиг этого числа вправо на [math]1[/math] и произвести побитовое ИЛИ результата сдвига и исходного числа, мы получим результат [math]0\dots011b \dots b[/math]. Если мы повторим эту последовательность действий над полученным числом, но устроим сдвиг на [math]2[/math], то получим [math]0\dots01111b \dots b[/math]. При каждой следующей операции будем увеличивать модуль сдвига до следующей степени двойки. После некоторого количества таких операций (зависит от разрядности числа) мы получим число вида [math]0\dots01\dots1[/math]. Тогда результатом выполнения действий [math]x - (x \texttt{ \gt \gt }1)[/math] будет число, состоящее только из старшего бита исходного числа.

int32 greatestBit(x: int32):
    power = 1
    for i = 1..[math]\log_2{32}[/math]:
        x |= x >> power
        power <<= 1
    return x - (x >> 1)

Циклический сдвиг

Пусть дано число [math]x[/math] и надо совершить циклический сдвиг его битов на величину [math]d[/math]. Желаемый результат можно получить, если объединить числа, полученные при выполнении обычного битового сдвига в желаемую сторону на [math]d[/math] и в противоположном направлении на разность между разрядностью числа и величиной сдвига. Таким образом, мы сможем поменять местами начальную и конечную части числа.

int32 rotateLeft(x, d: int32):
    return (x << d) | (x >>> (32 - d))

int32 rotateRight(x, d: int32):
    return (x >>> d) | (x << (32 - d))

Подсчет количества единичных битов

Для подсчета количества единичных битов в числе [math]x[/math] можно воспользоваться следующим алгоритмом:

// Для чисел других разрядностей необходимо использовать соответствующие константы. 
int16 setBitsNumber(x: int16):
    x = x - ((x >>> 1) & 0x5555)
    x = (x & 0x3333) + ((x >>> 2) & 0x3333)
    x = (x + (x >>> 4)) & 0x0F0F
    return (x * 0x0101) >>> 8

Поскольку [math]5555_{16}[/math] равно [math]01010101 01010101_{2}[/math], результатом операции [math]x\ \&\ 5555_{16}[/math] является число, в котором все нечетные биты соответствуют нечетным битам числа [math]x[/math]. Аналогично, результатом операции [math](x\ \texttt{\gt \gt \gt }\ 1)\ \&\ 5555_{16}[/math] является число, в котором все нечетные биты соответствуют четным битам [math]x[/math]. Четные биты результата в обоих случаях равны нулю.

Мысленно разобьем двоичную запись нашего числа [math]x[/math] на группы по [math]2[/math] бита. Результатом операции [math]x\ \&\ 5555_{16} + (x\ \texttt{\gt \gt \gt }\ 1)\ \&\ 5555_{16}[/math] будет такое число, что если разбить его двоичную запись на группы по два бита, значение каждой группы соответствует количеству единичных битов в соответствующей паре битов числа [math]x[/math].

Аналогично, число [math]3333_{16}[/math] равно [math]00110011 00110011_{2}[/math] и операция [math]x = (x\ \&\ 3333_{16}) + (x\ \texttt{\gt \gt \gt }\ 2\ \&\ 3333_{16})[/math], примененная к результату, полученному на первом этапе, выполняет подсчет количества единичных битов в блоках по [math]4[/math]. В свою очередь, число [math]\texttt{0F0F}_{16}[/math] равно [math]00001111 00001111_{2}[/math] и операция [math]x = (x\ \&\ \texttt{0F0F}_{16}) + (x\ \texttt{\gt \gt \gt }\ 4\ \&\ \texttt{0F0F}_{16})[/math] позволяет подсчитать число единичных бит в блоках по [math]8[/math].

Теперь необходимо просуммировать числа, записанные в блоках по [math]8[/math] битов, чтобы получить искомую величину. Это можно сделать, домножив результат на [math]0101_{16}[/math] [math](1 00000001_{2})[/math]. Ответ на задачу будет находиться в первых восьми битах произведения. Выполнив сдвиг вправо на [math]8[/math] (для шестнадцатибитных чисел), мы получим долгожданный ответ.

Подведем итог:

int16 setBitsNumber(x: int16):
    x = (x & 0x5555) + ((x >>> 1) & 0x5555)
    x = (x & 0x3333) + ((x >>> 2) & 0x3333)
    x = (x & 0x0F0F) + ((x >>> 4) & 0x0F0F)
    return (x * 0x0101) >>> 8

Заметим, что операция [math]x\ \&\ 55_{16} + (x\ \texttt{\gt \gt \gt }\ 1)\ \&\ 55_{16}[/math] равносильна операции [math]x - (x\ \texttt{\gt \gt \gt }\ 1)\ \&\ 55_{16}[/math], в чем легко убедиться, рассмотрев все числа из двух бит.

В свою очередь, операцию [math](x\ \&\ \texttt{0F0F}_{16}) + ((x\ \texttt{\gt \gt \gt }\ 4)\ \&\ \texttt{0F0F}_{16})[/math] можно заменить на [math](x + (x\ \texttt{\gt \gt \gt }\ 4))\ \&\ \texttt{0F0F}_{16}[/math]. Эта замена не повлияет на результат, так как максимальное значение в любой группе из четырех битов данного числа равно четырем, то есть требует только трех битов для записи, и выполнение суммирования не повлечет за собой переполнения и выхода за пределы четверок.

Таким образом, мы получили код, приведенный в начале раздела.

Разворот битов

Чтобы получить биты числа [math]x[/math], записанные в обратном порядке, применим следующий алгоритм.

// Для чисел других разрядностей нужны соответствующие константы.
int16 reverseBits(x: int16):
    x = ((x & 0x5555) << 1) | ((x >>> 1) & 0x5555)  // Четные и нечетные биты поменялись местами.
    x = ((x & 0x3333) << 2) | ((x >>> 2) & 0x3333)  // Биты "перетасовываются" группами по два.
    x = ((x & 0x0F0F) << 4) | ((x >>> 4) & 0x0F0F)  // Биты "перетасовываются" группами по четыре.
    x = ((x & 0x00FF) << 8) | ((x >>> 8) & 0x00FF)  // Биты "перетасовываются" группами по восемь.
    return x

Более подробно про то, что за константы выбраны для данного алгоритма, можно прочитать в разделе подсчет количества единичных битов.

Применение для решения задач

Работа с битовыми масками

Для работы с подмножествами удобно использовать битовые маски. Применяя побитовые операции легко сделать следующее: найти дополнение [math](\sim mask)[/math], пересечение [math](mask_1\ \&\ mask_2)[/math], объединение [math](mask_1 \mid mask_2)[/math] множеств, установить бит по номеру [math](mask \mid (1\ \texttt{\lt \lt }\ x))[/math], снять бит по номеру [math](mask\ \&\ \sim(1\ \texttt{\lt \lt }\ x))[/math].

Битовые маски используются, например, при решении некоторых задач динамического программирования.

Алгоритм Флойда

Алгоритм Флойда–Уоршелла (англ. the Floyd–Warshall algorithm) — алгоритм, разработанный в [math]1962[/math] году и Стивеном Уоршеллом для нахождения длин кратчайших путей между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе. Работает корректно, если в графе нет циклов отрицательной величины, а если же такой цикл есть, позволяет найти хотя бы один такой цикл. Асимптотическая сложность алгоритма [math] \Theta(n^3) [/math], также требует [math] \Theta(n^2) [/math] памяти.

В модификации данного алгоритма для построения транзитивного замыкания можно применить оптимизацию с помощью битовых масок. С помощью неё можно добиться улучшения времени работы. Если обозначить за [math] k [/math] длину битовой макси, то асимптотическая сложность алгоритма поменяется и станет равна [math]O\Big(\dfrac{n^3}{k}\Big).[/math]

Дерево Фенвика

Дерево Фенвика (англ. Binary indexed tree) — структура данных, которая может выполнять следующие операции:

• изменять значение любого элемента в массиве,
• выполнять некоторую ассоциативную, коммутативную, обратимую операцию [math] \circ [/math] на отрезке [math] [i, j] [/math].

Данная структура требует [math] O(n) [/math] памяти, а выполнение каждой операции происходит за [math] O(\log n) [/math] .

Функция, позволяющая делать операции вставки и изменения элемента за [math] O(\log n) [/math], задается следующей формулой [math] F(i) = (i \And (i + 1)) [/math]. Пусть дан массив [math] A = [a_0, a_1, \ldots, a_{n - 1}][/math]. Деревом Фенвика называется массив [math] T [/math] из [math] n [/math] элементов: [math] T_i = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} a_k[/math], где [math] i = 0 .. n - 1 [/math] и [math] F(i) [/math] — функция, которую мы определили ранее.

См. также

• Определение булевой функции
• Сумматор
• Триггеры

Источники информации

• Онлайн справочник программиста на С и С++
• Побитовые операторы
• Bit Twiddling Hacks by Sean Eron Anderson
• Habrahabr — Алгоритмы поиска старшего бита
• STP's blog — Counting the number of set bits in an integer