Побитовые операции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Побитовые сдвиги)
(Применение)
Строка 67: Строка 67:
 
====Проверка на то, является ли число степенью двойки====
 
====Проверка на то, является ли число степенью двойки====
 
Пусть дано число <tex>x</tex>. Тогда, если результатом выражения <tex>(x\ \&\&\ !(x\ \&\ (x - 1)))</tex> является единица, то число <tex>x</tex> {{---}} степень двойки.
 
Пусть дано число <tex>x</tex>. Тогда, если результатом выражения <tex>(x\ \&\&\ !(x\ \&\ (x - 1)))</tex> является единица, то число <tex>x</tex> {{---}} степень двойки.
 +
 +
Правая часть выражения <tex>(!(x\ \&\ (x - 1)))</tex> будет равна единице только если число <tex>x</tex> равно <tex>0</tex> или является степенью двойки. Если число <tex>x</tex> является степенью двойки, то в двоичной системе счисления оно представляется следующим образом: <tex>1\underbrace{0\dots0}_{n}</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} показатель степени. Соответственно, выражение <tex>(x - 1)</tex> будет иметь вид <tex>\underbrace{1\dots1}_{n}</tex>, и выражение <tex>x\ \&\ (x - 1)</tex> равно <tex>0</tex>.
 +
 +
Операция логического И в данном выражении отсекает тот случай, когда <tex>(x = 0)</tex> и не является степенью двойки, но при этом правая часть выражения <tex>(!(x\ \&\ (x - 1)))</tex> равна единице.
  
 
====Определение знака числа====
 
====Определение знака числа====
Поскольку при сдвиге вправо на освобождающиеся позиции устанавливается бит знака, знак числа можно определить следующим образом:
+
Пусть дано число <tex>x</tex>. Поскольку при сдвиге вправо на освобождающиеся позиции устанавливается бит знака, знак числа <tex>x</tex> можно определить, выполнив сдвиг вправо на всю длину переменной:
 
<code>
 
<code>
 
  <font color = green>// в этом и следующих примерах в константе '''CHAR_BIT''' хранится количество битов в одном байте</font>
 
  <font color = green>// в этом и следующих примерах в константе '''CHAR_BIT''' хранится количество битов в одном байте</font>
  sign = x >> (''sizeof''('''int''') * '''CHAR_BIT''' - 1)    <font color = green>// если x < 0, результатом будет -1, иначе 0 </font>
+
   
 
+
'''if''' x != 0
  sign = (x != 0) | (x >> (''sizeof''('''int''') * '''CHAR_BIT''' - 1))    <font color = green>// результатом будет -1, 0, или +1  
+
    mask = 1
                                                          // для отрицательного, равного нулю и положительного числа x соответственно</font>
+
'''else'''
</code>
+
    mask = 0
Используя побитовые операции можно также узнать, различны ли знаки двух переменных:
+
<code>
+
  sign = mask | (x >> (''sizeof''('''int''') * '''CHAR_BIT''' - 1))    <font color = green>// результатом будет -1, 0, или +1  
'''bool''' result = ((x <tex>\oplus</tex> y) < 0)    <font color = green>// значение переменной result == ''true'', если знаки переменных x и y различны</font>
+
                                                      // для отрицательного, равного нулю и положительного числа x соответственно</font>
 
</code>
 
</code>
 +
Используя побитовые операции можно также узнать, различны ли знаки двух переменных <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Если числа имеют различный знак, то результат операции XOR, произведенной над их знаковыми битами, будет единицей. Поэтому неравенство <tex>((x \oplus y) < 0</tex> будет верно в том случае, если числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> разного знака.
  
 
====Вычисление модуля числа без использования условного оператора====
 
====Вычисление модуля числа без использования условного оператора====
 +
Пусть дано число <tex>x</tex>. Тогда
 
<code>
 
<code>
 
  mask = x >> ''sizeof''('''int''') * '''CHAR_BIT''' - 1
 
  mask = x >> ''sizeof''('''int''') * '''CHAR_BIT''' - 1

Версия 14:49, 8 марта 2016

Побитовые операции (англ. bitwise operations) — операции, производимые над цепочками битов. Выделяют два типа побитовых операций: логические операции и побитовые сдвиги.

Принцип работы

Логические побитовые операции

Битовые операторы И [math](AND,\ \&)[/math], ИЛИ [math](OR,\ \mid)[/math], НЕ [math](NOT,\ \sim)[/math] и исключающее ИЛИ [math](XOR,\ $\textasciicircum$,\ \oplus)[/math] используют те же таблицы истинности, что и их логические эквиваленты.

Побитовое И

Побитовое И используется для выключения битов. Любой бит, установленный в [math]0[/math], вызывает установку соответствующего бита результата также в [math]0[/math].

&
11001010
11100010
11000010

Побитовое ИЛИ

Побитовое ИЛИ используется для включения битов. Любой бит, установленный в [math]1[/math], вызывает установку соответствующего бита результата также в [math]1[/math].

|
11001010
11100010
11101010

Побитовое НЕ

Побитовое НЕ инвертирует состояние каждого бита исходной переменной.

~
11001010
00110101

Побитовое исключающее ИЛИ

Исключающее ИЛИ устанавливает значение бита результата в [math]1[/math], если значения в соответствующих битах исходных переменных различны.

^
11001010
11100010
00101000

Побитовые сдвиги

Операторы сдвига [math]\texttt{\lt \lt }[/math] и [math]\texttt{\gt \gt }[/math] сдвигают биты в переменной влево или вправо на указанное число. При этом на освободившиеся позиции устанавливаются нули (кроме сдвига вправо отрицательного числа, в этом случае на свободные позиции устанавливаются единицы, так как числа представляются в двоичном дополнительном коде и необходимо поддерживать знаковый бит).

Сдвиг влево может применяться для умножения числа на два, сдвиг вправо — для деления.

x = 7         // 00000111 (7)
x = x >> 1    // 00000011 (3)
x = x << 1    // 00000110 (6)
x = x << 5    // 11000000 (-64)
x = x >> 2    // 11110000 (-16)

В языке программирования Java существует также оператор беззнакового битового сдвига вправо [math]\texttt{\gt \gt \gt }[/math]. При использовании этого оператора на освободившиеся позиции всегда устанавливаются нули.

x = 7          // 00000111 (7)
x = x << 5     // 11100000 (-32)
x = x >> 2    // 00111000 (56)

Применение

Сложные операции

Проверка на то, является ли число степенью двойки

Пусть дано число [math]x[/math]. Тогда, если результатом выражения [math](x\ \&\&\ !(x\ \&\ (x - 1)))[/math] является единица, то число [math]x[/math] — степень двойки.

Правая часть выражения [math](!(x\ \&\ (x - 1)))[/math] будет равна единице только если число [math]x[/math] равно [math]0[/math] или является степенью двойки. Если число [math]x[/math] является степенью двойки, то в двоичной системе счисления оно представляется следующим образом: [math]1\underbrace{0\dots0}_{n}[/math], где [math]n[/math] — показатель степени. Соответственно, выражение [math](x - 1)[/math] будет иметь вид [math]\underbrace{1\dots1}_{n}[/math], и выражение [math]x\ \&\ (x - 1)[/math] равно [math]0[/math].

Операция логического И в данном выражении отсекает тот случай, когда [math](x = 0)[/math] и не является степенью двойки, но при этом правая часть выражения [math](!(x\ \&\ (x - 1)))[/math] равна единице.

Определение знака числа

Пусть дано число [math]x[/math]. Поскольку при сдвиге вправо на освобождающиеся позиции устанавливается бит знака, знак числа [math]x[/math] можно определить, выполнив сдвиг вправо на всю длину переменной:

// в этом и следующих примерах в константе CHAR_BIT хранится количество битов в одном байте

if x != 0
    mask = 1
else
    mask = 0

sign = mask | (x >> (sizeof(int) * CHAR_BIT - 1))    // результатом будет -1, 0, или +1 
                                                     // для отрицательного, равного нулю и положительного числа x соответственно

Используя побитовые операции можно также узнать, различны ли знаки двух переменных [math]x[/math] и [math]y[/math]. Если числа имеют различный знак, то результат операции XOR, произведенной над их знаковыми битами, будет единицей. Поэтому неравенство [math]((x \oplus y) \lt 0[/math] будет верно в том случае, если числа [math]x[/math] и [math]y[/math] разного знака.

Вычисление модуля числа без использования условного оператора

Пусть дано число [math]x[/math]. Тогда

mask = x >> sizeof(int) * CHAR_BIT - 1

abs = (x + mask) [math]\oplus[/math] mask
// другой способ сделать то же самое:
abs = (x [math]\oplus[/math] mask) - mask

Нахождение минимума и максимума из двух чисел без использования условного оператора

Этот способ корректен только если можно утверждать, что величина [math](x - y)[/math] лежит между граничными значениями типа int.

min = y + ((x - y) & ((x - y) >> (sizeof(int) * CHAR_BIT - 1)))
max = x - ((x - y) & ((x - y) >> (sizeof(int) * CHAR_BIT - 1)))

Применение для решения задач

Работа с битовыми масками

Для работы с подмножествами удобно использовать битовые маски. Применяя побитовые операции легко сделать следующее: найти дополнение [math](\sim mask)[/math], пересечение [math](mask_1\ \&\ mask_2)[/math], объединение [math](mask_1 \mid mask_2)[/math] множеств, установить бит по номеру [math](mask \mid (1\ \texttt{\lt \lt }\ x))[/math], снять бит по номеру [math](mask\ \&\ \sim(1\ \texttt{\lt \lt }\ x))[/math].

Битовые маски используются, например, при решении некоторых задач[1] динамического программирования.

Алгоритм Флойда

Основная статья: Алгоритм Флойда

Дерево Фенвика

Основная статья: Дерево Фенвика

Примечания

Источники информации