Теория чисел:Тикеты

1 Классы чисел и основная теорема арифметики

1. Классы чисел 1-1,5
   1. увеличить дроби
   2. все формулы в тех
   3. источники информации добавить
   4. см также добавить
   5. английские термины
   6. заменить дефисы на тире, там где должно быть тире
   7. указать ссылки на основные статьи классов
2. Натуральные и целые числа 5-10
   1. источники информации добавить
   2. см также добавить
   3. заменить дефисы на тире, там где должно быть тире
   4. Сделать нормальным
3. Простые числа 2
   1. "Так как n делится на q, то n делится на a." показать формально
   2. поправить пунктуацию
   3. "Число N не делится ни на одно из простых чисел (2,3,5,…,p), так как при делении N на эти числа получится остаток 1." показать формально
4. Наибольший общий делитель 2
   1. "Тогда gcd(a,b)=pmin(α1,β1)1⋅pmin(α2,β2)2⋅…⋅pmin(αk,βk)k" что такое p_i?
   2. Оформить правильно псевдокод
   3. заменить дефисы на тире, там где должно быть тире
   4. все формулы в тех
   5. второй пункт в лемме стандартного алгоритма Евклида переписать
5. Основная теорема арифметики 2
   1. поместить в натуральные числа, нормально оформить
6. Теоремы о простых числах 2
   1. переместить в конспект с простыми числами и нормально оформить

Практика - Разложение на множители и длинная арифметика

1. Системы счисления 2
   1. Нормально заюзать тех
   2. источники информации добавить
   3. см также добавить
   4. английские термины
2. Арифметика чисел в b-ичной системе счисления (Длинная арифметика) 5-8
   1. английские термины
   2. все формулы в тех
   3. категории
   4. источники информации
   5. см также
   6. знаки неравенств
   7. дроби
   8. добавить псевдокод
   9. сделать статью нормальной
3. Разложение на множители (факторизация) 1-2
   1. знаки неравенств
   2. дефисы заменить на тире, там же должно быть тире
   3. английские термины
   4. сделать псевдокод одинаковым во всех частях статьи
   5. поправить статью

Лекция - Основные элементы теории чисел

• Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю
• Китайская теорема об остатках
• Теорема Ферма
• Теорема Вильсона
• Мультипликативность функции, свертка Дирихле
• Функция Эйлера
• Количество делителей, сумма делителей
• Функция Мебиуса

Практика - Основные алгоритмы теории чисел

• Решето Эратосфена
• Быстрое возведение в степень
• Умножение по Монтгомери
• Дискретное преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье

Лекция - Основы теории групп

• Полугруппа, моноид, группа
• Абелева группа, Конечная группа
• Гомоморфизм групп, изоморфизм групп
• Подгруппа, нормальная подгруппа
• Порядок элемента группы, циклическая группа, конечно порожденная группа
• Регулярное представление группы
• Теорема о подгруппах циклической группы
• Смежные классы, теорема Лагранжа, факторгруппы

Практика - Основы теории групп

• Вычисление порядка элемента в группе
• Вычисление порядка перестановки в группе перестановок
• Дискретное логарифмирование в группе
• Действие группы на множестве
• Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий
• Представление групп

Лекция - Основы теории колец

• Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец
• Делители нуля, области целостности
• Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов
• Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах
• Евклидовы кольца

Лекция - Основы теории полей

• Определение поля и подполя, изоморфизмы полей
• Примеры полей
• Мультипликативная группа поля
• Расширения полей

Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты

• Теорема о цикличности мультипликативной группы поля [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math]
• Первообразные корни
  • Теорема о существовании первообразных корней по модулям вида [math]2,4,p^n,2\cdot p^n[/math]
• Квадратичные вычеты, количество квадратичных вычетов по простому модулю
  • Символ Лежандра, критерий Эйлера
  • Теорема о [math]((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)[/math] при [math]p=4\cdot k+1[/math]
  • Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю

Лекция - Квадратичные вычеты

• Квадратичный закон взаимности
• Символ Якоби и его свойства
• Обобщенный квадратичный закон взаимности
• Алгоритм вычисления символа Якоби

Практика - Вероятностные тесты чисел на простоту

• Тест Ферма проверки чисел на простоту, числа Кармайкла
• Тест Соловея-Штрассена
• Тест Миллера-Рабина

Лекция - Аналитическая теория чисел

• Факты из математического анализа
• Теорема Чебышёва
• Постулат Бертрана
• Уточнение констант в теореме Чебышёва
• Сумма обратных к простым
• Асимптотический закон распределения простых чисел

Лекция - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля

• Цепная дробь
  • Связь цепных дробей и алгоритма Евклида
  • Сходимость цепных дробей
  • Цепные дроби как приближение к числу
  • Квадратичная иррациональность
  • Периодичность цепных дробей
  • Цепные дроби для [math]\sqrt{d}[/math] и квадратичных иррациональностей
• Уравнение Пелля
• Представление простых в виде суммы двух квадратов