Алгоритмы алгебры и теории чисел — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Лекция - Основы теории групп)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 52 промежуточные версии 12 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Лекция - Классы чисел и основная теорема арифметики ==
 
== Лекция - Классы чисел и основная теорема арифметики ==
 
* [[Классы чисел]]
 
* [[Классы чисел]]
* [[Натуральные и целые числа]]
+
* [[Натуральные числа]]
 
* [[Простые числа]]
 
* [[Простые числа]]
 
* [[Наибольший общий делитель]]
 
* [[Наибольший общий делитель]]
Строка 7: Строка 7:
 
* [[Теоремы о простых числах]]
 
* [[Теоремы о простых числах]]
 
=== Практика - Разложение на множители и длинная арифметика ===
 
=== Практика - Разложение на множители и длинная арифметика ===
 +
* [[Системы счисления]]
 +
* [[Арифметика чисел в b-ичной системе счисления (Длинная арифметика)]]
 +
* [[Разложение на множители (факторизация)]]
  
 
== Лекция - Основные элементы теории чисел ==
 
== Лекция - Основные элементы теории чисел ==
 +
* [[Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю]]
 +
* [[Китайская теорема об остатках]]
 +
* [[Теорема Ферма]]
 +
* [[Теорема Вильсона]]
 +
* [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле]]
 +
* [[Функция Эйлера]]
 +
* [[Количество делителей, сумма делителей]]
 +
* [[Функция Мебиуса]]
 +
 
=== Практика - Основные алгоритмы теории чисел ===
 
=== Практика - Основные алгоритмы теории чисел ===
 +
* [[Решето Эратосфена]]
 +
* [[Быстрое возведение в степень]]
 +
* [[Умножение по Монтгомери]]
 +
* [[Дискретное преобразование Фурье]]
 +
* [[Быстрое преобразование Фурье]]
  
 
== Лекция - Основы теории групп ==
 
== Лекция - Основы теории групп ==
Строка 15: Строка 32:
 
* [[Абелева группа]], [[Конечная группа]]
 
* [[Абелева группа]], [[Конечная группа]]
 
* [[Гомоморфизм групп]], [[изоморфизм групп]]
 
* [[Гомоморфизм групп]], [[изоморфизм групп]]
* [[Подгруппа]]
+
* [[Подгруппа]], [[нормальная подгруппа]]
 
* [[Порядок элемента группы]], [[циклическая группа]], [[конечно порожденная группа]]
 
* [[Порядок элемента группы]], [[циклическая группа]], [[конечно порожденная группа]]
 +
* [[Регулярное представление группы]]
 
* [[Теорема о подгруппах циклической группы]]
 
* [[Теорема о подгруппах циклической группы]]
* [[Представление конечных групп перестановками (регулярное представление группы)]]
+
* [[Смежные классы]], [[теорема Лагранжа]], [[факторгруппы]]
* [[Смежные классы, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, факторгруппы]]
 
* [[Гомоморфизмы]]
 
 
=== Практика - Основы теории групп ===
 
=== Практика - Основы теории групп ===
 
* [[Вычисление порядка элемента в группе]]
 
* [[Вычисление порядка элемента в группе]]
Строка 30: Строка 46:
  
 
== Лекция - Основы теории колец ==
 
== Лекция - Основы теории колец ==
 +
*[[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец]]
 +
*[[Делители нуля, области целостности]]
 +
*[[Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов]]
 +
*[[Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах]]
 +
*[[Евклидовы кольца]]
 
=== Практика - Арифметика полиномов от одной переменной над полем ===
 
=== Практика - Арифметика полиномов от одной переменной над полем ===
 +
 
== Лекция - Основы теории полей ==
 
== Лекция - Основы теории полей ==
 
* [[Определение поля и подполя, изоморфизмы полей]]
 
* [[Определение поля и подполя, изоморфизмы полей]]
 
* [[Примеры полей]]
 
* [[Примеры полей]]
 
* [[Мультипликативная группа поля]]
 
* [[Мультипликативная группа поля]]
* [[Характеристика поля, простые поля, классификация простых полей]]
 
* [[Поле как линейное пространство над своим подполем]]
 
 
* [[Расширения полей]]
 
* [[Расширения полей]]
* [[Поле частных кольца, поле Q как поле частных кольца Z]]
 
  
 
== Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты ==
 
== Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты ==
 
* [[Теорема о цикличности мультипликативной группы поля Z/pZ|Теорема о цикличности мультипликативной группы поля <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>]]
 
* [[Теорема о цикличности мультипликативной группы поля Z/pZ|Теорема о цикличности мультипликативной группы поля <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>]]
 
* [[Первообразные корни]]
 
* [[Первообразные корни]]
* [[Квадратичные вычеты]]
+
** [[Существование первообразных корней по определенным модулям|Теорема о существовании первообразных корней по модулям вида <tex>2,4,p^n,2\cdot p^n</tex>]]
 +
* [[Квадратичные вычеты|Квадратичные вычеты, количество квадратичных вычетов по простому модулю]]
 +
** [[Символ Лежандра, критерий Эйлера]]
 +
** [[Теорема о (((p-1)/2)!)^2=-1(mod p)|Теорема о <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>]]
 +
** [[Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю]]
 
=== Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты ===
 
=== Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты ===
  
 
== Лекция - Квадратичные вычеты ==
 
== Лекция - Квадратичные вычеты ==
*[[Квадратичные вычеты часть 2|Квадратичные вычеты]]
+
*[[Квадратичный закон взаимности]]
*[[Цепные дроби]]
+
*[[Символ Якоби и его свойства]]
 +
*[[Обобщенный квадратичный закон взаимности]]
 +
*[[Алгоритм вычисления символа Якоби]]
 
=== Практика - Вероятностные тесты чисел на простоту ===
 
=== Практика - Вероятностные тесты чисел на простоту ===
 
*[[Тест Ферма проверки чисел на простоту, числа Кармайкла]]
 
*[[Тест Ферма проверки чисел на простоту, числа Кармайкла]]
Строка 61: Строка 86:
 
* [[Сумма обратных к простым]]
 
* [[Сумма обратных к простым]]
 
* [[Асимптотический закон распределения простых чисел]]
 
* [[Асимптотический закон распределения простых чисел]]
 +
 
=== Практика - Вычисление <math>\pi(x)</math> ===
 
=== Практика - Вычисление <math>\pi(x)</math> ===
  
 
== Лекция - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля ==
 
== Лекция - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля ==
* [[Цепные дроби, рекуррентные формулы для числителей и знаменателей дробей]]
+
* [[Цепная дробь]]
* [[Цепные дроби как приближение к числу]]
+
** [[Связь цепных дробей и алгоритма Евклида]]
* [[Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей|Цепные дроби для <tex>\sqrt{d}</tex> и квадратичных иррациональностей]]
+
** [[Сходимость цепных дробей]]
 +
** [[Цепные дроби как приближение к числу]]
 +
** [[Квадратичная иррациональность]]
 +
** [[Периодичность цепных дробей]]
 +
** [[Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей|Цепные дроби для <tex>\sqrt{d}</tex> и квадратичных иррациональностей]]
 
* [[Уравнение Пелля]]
 
* [[Уравнение Пелля]]
=== Практика - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля ===
+
* [[Представление простых в виде суммы двух квадратов]]
  
 
== Лекция - Конечные поля ==
 
== Лекция - Конечные поля ==
 
=== Практика - Методы разложения полиномов на множители над конечными полями ===
 
=== Практика - Методы разложения полиномов на множители над конечными полями ===

Текущая версия на 19:03, 4 сентября 2022

Лекция - Классы чисел и основная теорема арифметики

Практика - Разложение на множители и длинная арифметика

Лекция - Основные элементы теории чисел

Практика - Основные алгоритмы теории чисел

Лекция - Основы теории групп

Практика - Основы теории групп

Лекция - Основы теории колец

Практика - Арифметика полиномов от одной переменной над полем

Лекция - Основы теории полей

Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты

Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты

Лекция - Квадратичные вычеты

Практика - Вероятностные тесты чисел на простоту

Лекция - Аналитическая теория чисел

Практика - Вычисление [math]\pi(x)[/math]

Лекция - Цепные (непрерывные) дроби и уравнение Пелля

Лекция - Конечные поля

Практика - Методы разложения полиномов на множители над конечными полями