Алгоритмы алгебры и теории чисел — различия между версиями
(→Практика - Разложение на множители и длинная арифметика) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 23 промежуточные версии 8 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Лекция - Классы чисел и основная теорема арифметики == | == Лекция - Классы чисел и основная теорема арифметики == | ||
* [[Классы чисел]] | * [[Классы чисел]] | ||
− | * [[Натуральные | + | * [[Натуральные числа]] |
* [[Простые числа]] | * [[Простые числа]] | ||
* [[Наибольший общий делитель]] | * [[Наибольший общий делитель]] | ||
Строка 12: | Строка 12: | ||
== Лекция - Основные элементы теории чисел == | == Лекция - Основные элементы теории чисел == | ||
− | * [[Сравнения, | + | * [[Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю]] |
− | * [[ | + | * [[Китайская теорема об остатках]] |
+ | * [[Теорема Ферма]] | ||
+ | * [[Теорема Вильсона]] | ||
+ | * [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле]] | ||
+ | * [[Функция Эйлера]] | ||
+ | * [[Количество делителей, сумма делителей]] | ||
+ | * [[Функция Мебиуса]] | ||
=== Практика - Основные алгоритмы теории чисел === | === Практика - Основные алгоритмы теории чисел === | ||
+ | * [[Решето Эратосфена]] | ||
+ | * [[Быстрое возведение в степень]] | ||
+ | * [[Умножение по Монтгомери]] | ||
+ | * [[Дискретное преобразование Фурье]] | ||
+ | * [[Быстрое преобразование Фурье]] | ||
== Лекция - Основы теории групп == | == Лекция - Основы теории групп == | ||
Строка 23: | Строка 34: | ||
* [[Подгруппа]], [[нормальная подгруппа]] | * [[Подгруппа]], [[нормальная подгруппа]] | ||
* [[Порядок элемента группы]], [[циклическая группа]], [[конечно порожденная группа]] | * [[Порядок элемента группы]], [[циклическая группа]], [[конечно порожденная группа]] | ||
+ | * [[Регулярное представление группы]] | ||
* [[Теорема о подгруппах циклической группы]] | * [[Теорема о подгруппах циклической группы]] | ||
* [[Смежные классы]], [[теорема Лагранжа]], [[факторгруппы]] | * [[Смежные классы]], [[теорема Лагранжа]], [[факторгруппы]] | ||
Строка 50: | Строка 62: | ||
* [[Теорема о цикличности мультипликативной группы поля Z/pZ|Теорема о цикличности мультипликативной группы поля <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>]] | * [[Теорема о цикличности мультипликативной группы поля Z/pZ|Теорема о цикличности мультипликативной группы поля <tex>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</tex>]] | ||
* [[Первообразные корни]] | * [[Первообразные корни]] | ||
− | * [[Квадратичные вычеты]] | + | ** [[Существование первообразных корней по определенным модулям|Теорема о существовании первообразных корней по модулям вида <tex>2,4,p^n,2\cdot p^n</tex>]] |
+ | * [[Квадратичные вычеты|Квадратичные вычеты, количество квадратичных вычетов по простому модулю]] | ||
+ | ** [[Символ Лежандра, критерий Эйлера]] | ||
+ | ** [[Теорема о (((p-1)/2)!)^2=-1(mod p)|Теорема о <tex>((\frac{p-1}{2})!)^2\equiv -1 (mod ~p)</tex> при <tex>p=4\cdot k+1</tex>]] | ||
+ | ** [[Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю]] | ||
=== Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты === | === Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты === | ||
Строка 70: | Строка 86: | ||
* [[Сумма обратных к простым]] | * [[Сумма обратных к простым]] | ||
* [[Асимптотический закон распределения простых чисел]] | * [[Асимптотический закон распределения простых чисел]] | ||
+ | |||
=== Практика - Вычисление <math>\pi(x)</math> === | === Практика - Вычисление <math>\pi(x)</math> === | ||
Текущая версия на 19:03, 4 сентября 2022
Лекция - Классы чисел и основная теорема арифметики
- Классы чисел
- Натуральные числа
- Простые числа
- Наибольший общий делитель
- Основная теорема арифметики
- Теоремы о простых числах
Практика - Разложение на множители и длинная арифметика
Лекция - Основные элементы теории чисел
- Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю
- Китайская теорема об остатках
- Теорема Ферма
- Теорема Вильсона
- Мультипликативность функции, свертка Дирихле
- Функция Эйлера
- Количество делителей, сумма делителей
- Функция Мебиуса
Практика - Основные алгоритмы теории чисел
Лекция - Основы теории групп
- Полугруппа, моноид, группа
- Абелева группа, Конечная группа
- Гомоморфизм групп, изоморфизм групп
- Подгруппа, нормальная подгруппа
- Порядок элемента группы, циклическая группа, конечно порожденная группа
- Регулярное представление группы
- Теорема о подгруппах циклической группы
- Смежные классы, теорема Лагранжа, факторгруппы
Практика - Основы теории групп
Лекция - Основы теории колец
- Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец
- Делители нуля, области целостности
- Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов
- Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах
- Евклидовы кольца
Практика - Арифметика полиномов от одной переменной над полем
Лекция - Основы теории полей
Лекция - Первообразные корни и квадратичные вычеты
- Теорема о цикличности мультипликативной группы поля
- Первообразные корни
- Квадратичные вычеты, количество квадратичных вычетов по простому модулю
Практика - Первообразные корни и квадратичные вычеты
Лекция - Квадратичные вычеты
- Квадратичный закон взаимности
- Символ Якоби и его свойства
- Обобщенный квадратичный закон взаимности
- Алгоритм вычисления символа Якоби
Практика - Вероятностные тесты чисел на простоту
Лекция - Аналитическая теория чисел
- Факты из математического анализа
- Теорема Чебышёва
- Постулат Бертрана
- Уточнение констант в теореме Чебышёва
- Сумма обратных к простым
- Асимптотический закон распределения простых чисел